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1.自然数的平方和。
连续自然数的平方和，即f(N)=1*1+2*2+……+N*N。其结果f(N)=N*(N+1)*(2N+1)/6.
这个结果，验证还是比较容易验证的，采用数学归纳法即可。
但直接推导还是有些困难的，至少我自己想，费了半天时间没有推出来。
具体的多种推导过程，大家可自行百度，在百度百科【平方和公式】里面，提供了好几种自然数平方和的计算方法
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2.幻方的构造
N阶幻方是将1~N*N个自然数不重不漏的放到一个N行N列的方阵里面，使得每行、每列、以及主对角线上数字之和相同，如最简单的，三阶幻方，中国称为洛书的，“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中”，也就是
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高阶幻方的构造，通用的方法是采用两个正交拉丁方来进行构造，只要有两个相互正交的拉丁方，就非常容易可以得到幻方的，但正交拉丁方应该不是唯一理论，至少，六阶正交拉丁方是不存在的，但六阶幻方却存在。我只了解通过正交拉丁方来构造幻方的过程了，在文中也只提及这种。
奇数阶幻方构造简单，非常容易就能拍得了，但偶数阶幻方构造很困难。
从原理上说，正交拉丁方的构造，需要借助模N整数域，N为奇数时，模N整数群就是个域，而偶数阶则不然，如模8整数群，2*4=0MOD8，两个不是0的数相乘得到0了。这时该怎么办？引入虚数单位i，然后用i来构造不可约多项式。具体过程不再论述了。
在组合数学这门数学课中，正交拉丁方的构造有详细论述。
可参考《组合数学》机械工业出版社的这个，说的很详细，不过需要一定数学功底
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3.称球问题----平衡三叉决策树
网上流传的经典问题：
问题1：有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问至少几次才能找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。
问题2：9个球，其中8个球质量一样，一个球质量偏重，问至少称几次，能找出偏重的球？
很多人应该见过这个题目，也曾经解过，不过如果不是相关专业的人，应该没有探究过原理吧？
N次称量能称几个小球，M个小球几次称量能找出有问题的小球？
理论与公式推导可参见这篇博客。
原理篇：/s/blog_l
公式篇：/s/blog_l
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4.魔方还原问题
对于魔方还原问题，大家了解的很可能比我多，我会还原魔方，不过我不会网上的边先法，我会的是角先法，是当年高中时我的一位同学告诉我的，不过只告诉了我一半，剩下的一半我自己补齐的，效率很低，五分钟才能还原回来。
当年尝试用群的思想来分析魔方的，结果水平不行。有本用群论来分析魔方的书，我大学时尝试看过没看懂。百度了一下没找到，以后找到了再补充。
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5.关联开关问题
这个是一道经典的算法题，按一个开关会导致其他开关状态改变，要采用异或矩阵来作为工具进行求解。
我做过这道题目，不过没有写博客啥的，在网上找一篇相关的文章吧
/qq_33879506/article/details/53192909
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问题与蚁群算法
TSP问题是最经典的NPC问题之一，相关的研究很多。
蚁群算法是一类群智能优化算法，文中将蚁群算法吹嘘到突破天际，其实不为过的，蚁群算法、粒子群算法、遗传算法、差分演化算法、分布估计算法，这一堆智能优化算法，统称演化算法。现代工程问题中面临的复杂的高维、多目标、多约束的问题，只能靠这类算法了。而且这类算法的普适性极高。
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后续还会出现一些算法，等写到再补充了58xs8.com